Gauss è il padre della geometria differenziale.
Tra le molte altre cose, egli era un cartografo;
difatti, molti termini nella moderna geometria differenziale (carta, atlante, mappa, sistema di coordinate, geodetica, ecc.) riflettono queste origini.
Fu portato al suo Theorema Egregium dalla domanda se fosse possibile disegnare una mappa di una porzione del nostro pianeta su un foglio piano, preservando le lunghezze (vedremo che questo non sarà possibile).
Cominciamo formulando questo problema matematicamente.
Consideriamo la sfera bidimensionale
essa è individuata dall'equazione
Ora, una mappa di una piccola regione
abbiamo quindi una funzione
Alla base della geometria differenziale abbiamo le varietà.
In termini molto semplici, una varietà è uno spazio che "localmente assomiglia" a uno spazio euclideo
Gli esempi più familiari, oltre agli spazi euclidei stessi, sono le curve piane lisce come cerchi e parabole, e le superfici lisce come sfere, tori, paraboloidi, ellissoidi e iperboloidi.
Esempi di dimensioni superiori includono l'insieme di punti in
Le varietà più basilari sono le varietà topologiche, che sono spazi topologici con determinate proprietà che codificano cosa intendiamo quando diciamo che "localmente assomigliano" a
Prima di fornire le definizioni precise, introduciamo quindi alcune terminologie preliminari fornendo alcuni esempi.
Sia
Esso si dice localmente euclideo di dimensione
Precisiamo che gli intorni di un punto saranno sempre assunti aperti, a meno di dichiarare esplicitamente il contrario.
Osservazione: Poiché gli intorni sferici / cubici aperti in
A questo punto, possiamo definire le varietà topologiche in maniera rigorosa.
Uno spazio topologico
Si denota con
Nota: Affinché la dimensione sia ben definita, dovremmo assicurarci che
Questo fatto è vero, ed è una conseguenza del Teorema di invarianza della dimensione:
esso afferma che due aperti non vuoti di
Per la teoria che svilupperemo, ci basterà la versione più debole di questo fatto, data dalla Proposizione 1.1.14.
Vediamo adesso alcuni esempi di varietà topologiche.
Sia
allora
Infatti, le proprietà di Hausdorff e secondo-numerabilità sono ereditarie, cioè valgono per ogni sottospazio di uno spazio che le possiede.
Vediamo poi che
Quindi, una
questa è una nozione più generale.
Gli esempi più semplici di varietà non omeomorfe a sottoinsiemi aperti dello spazio euclideo sono i grafici di funzioni continue.
Sia
Consideriamone il grafico
vogliamo far vedere che questo insieme è una
Al solito, le proprietà di Hasudorff e di secondo-numerabilità sono acquisite in quanto ereditarie.
Per mostrare che
inoltre, essa è continua, e l'inversa ha legge
Dunque,
Un altro esempio notevole di varietà topologica è la
Questi vanno presi con la topologia di sottospazio, per cui le proprietà di Hausdorff e secondo-numerabilità sono immediate.
Vediamo ora che
Fissato
Si consideri allora l'aperto
Si vede che
Notiamo che
Date due varietà topologiche, potremmo chiederci cosa succede al loro prodotto topologico;
la risposta è fornita dalla seguente
Siano
Lo spazio
Dimostrazione
Le proprietà di Hausdorff e secondo-numerabilità sono soddisfatte in quanto il prodotto di due spazi con tali proprietà continua a soddisfarle.
Per verificare che
essendo
Allora,
Poiché
Si dice
Essendo
Come detto prima, la caratteristica delle varietà topologiche è quella di comportarsi localmente come uno spazio euclideo;
possiamo quindi introdurre formalmente il concetto di coordinate locali.
Sia
Si dice carta di coordinate (o semplicemente carta) su
Per definizione di varietà topologica, ogni punto
Se
Osservazione: Se
Data una carta
se, inoltre,
La funzione
Il motivo per cui una carta
le funzioni
Se vogliamo enfatizzare le funzioni coordinate
A volte faremo affermazioni come "La carta
Sia
per ogni
con questa topologia,
Infatti, abbiamo ancora una base se consideriamo solo gli insiemi indicati con
Infatti, un aperto di base che possiede
Infatti, per ogni
nel caso
Consideriamo
studiamo
Infatti,
Infatti, il sottospazio
essendo la secondo-numerabilità ereditaria, ne viene che nemmeno
Consideriamo l'insieme
Consideriamo su di esso la topologia indotta da
Infatti, consideriamo il punto
se esistesse un intorno